恐れ入りますが、現時点ではチャットのログの保存機能や印刷機能はありません。

なお、エンタープライズプラン、およびKDDI Chatworkにはチャットログのエクスポート機能があります。

フリープラン、パーソナルプラン、ビジネスプランではエクスポート機能はありませんので
コピーペーストなどでログを保存・印刷してください。