【チャットのメッセージログ】
各チャットのメッセージのタイムライン上に保存されます。
チャット画面を上にスクロールすることで、過去のチャットログを閲覧できます。

【ファイルログ】
画面右上の [フォルダ] アイコンをクリック→ [ファイル管理] にて
現時点でダウンロード可能なファイルの一覧を確認することができます。

なお、エンタープライズプラン、およびKDDI Chatworkにはチャットログのエクスポート機能があります。

エンタープライズプラン・KDDI Chatwork以外のプランではエクスポート機能はありませんので
コピーペーストなどでログを保存してください。